STUDY GUIDE · 画像処理

期末試験対策 · 2026-07-22 4限

画像処理
教科書ノート

第8〜13回(杉村)を主戦場に、第1〜7回(塩田)は語句説明レベル。各概念は定義→使う→例題→解法→なるほど(完成例→フェード)。ベクトル化は試験対象外。

出題範囲・試験情報 ↓

出題範囲・試験情報

試験情報
日時7月22日(水)4限
場所2号館大講義室B
解答時間70分
持ち込みすべて不可(スマートウォッチ等の通信機能付きも不可)
座席前から詰める/後ろ不可/隣り合わない/学生証必須
試験内容 ↔ 本サイトの章
  1. 第1問 · 語句の説明(基礎・塩田寄り)→ §1 基礎用語用語集
  2. 第2問 · 空間フィルタリング(畳み込み+考察)→ §2・足場かけ型D
  3. 第3問 · 劣化と復元 または 2値画像処理§3 復元 / §4 2値
  4. 第4問 · テンプレートマッチングの応用§5・足場かけ型B
  5. 第5問 · ミーンシフト法の応用§6・足場かけ型C

計算問題は練習問題の類題が出る。§7は主5問外の周辺知識。

本サイトの対策方針
第1〜7回(塩田)第1問・語句説明レベル(§1)
第8〜13回(杉村)第2〜5問のメイン対策(§2–§6)
重点フィルタ計算と考察、逆/ウィナー、輪郭追跡、TM、ミーンシフト
出ない画像のベクトル化
0

ゼロ起点 Primer — 初めての用語

なぜこのノートか 観測画像はぼけ・雑音・幾何ずれを含む。フィルタ・復元・検出で「使える情報」に直すのが本科目の一本線。 各概念は 定義 → この定義を使う → 例題(問)→ 解法 → なるほど。抽象解説を例題の前に置かない。
定義 画素・空間周波数・畳み込み・PSF・逆/ウィナー・SSD・ミーンシフト。この語彙があれば計算問題の日本語が読める。
この定義を使う 3×3の積和を1回。SSDを1窓。\(W=H^{*}/(|H|^{2}+1)\) に数字を1回代入——定義を答案に書く直前の「宣言」。
例題 章本文の【問】は試験・宿題の類題。数値・行列が明示されているものを選んで手を動かす。
なるほどポイント 空間フィルタ=近くを見て直す。周波数=模様の細かさ。マッチング=型紙。ミーンシフト=似た色へ寄る。 学習ルート(70分想定): 速習→§2,3,5,6の例題を解法ごと精読→足場かけ→診断。塩田は用語集。ベクトル化はスキップ。
試験答案の型 語句は定義→効きの一言。計算は定義の式→数値代入→結果の意味。この順が配点の型そのもの。

直前1枚速習

論点キーワード
第1問語句空間周波数/明るさ・コントラスト/ヒストグラム
第2問空間フィルタ畳み込み・平滑化 vs 先鋭化・考察(ぼけ/ノイズ)
第3問復元 or 2値\(G=FH\)、ウィナー \(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)/4・8連結・輪郭・LUT
第4問TMSSD最小(中心か左上か確認)/SAD/NCC
第5問ミーンシフトエパネックニコフ、hs/hd、加重平均へ移動
除外ベクトル化・細線化手順の暗記は出ない

学ぶ — 章 TOC

出題範囲・試験情報§1 基礎用語(第1問)§2 空間フィルタ(第2問)§3 劣化と復元(第3問)§4 2値・輪郭(第3問)§5 テンプレートマッチング(第4問)§6 ミーンシフト(第5問)§7 ハフ・符号化(補足)用語集(第1問)足場かけ(第2〜5問)確信度診断(全問)
1

基礎用語(第1〜7回・塩田)

なぜこの章か 期末の先頭は「語句の説明」になりやすい。空間周波数・濃淡変換・フィルタ種別を、計算問題の前提として短く正確に言えるかが鍵。教材 L1–L7
1a

空間周波数

定義 空間周波数とは、画像平面上で輝度がどれだけ細かく変化するかの尺度である。 細かい模様・鋭いエッジは高周波成分が多く、なだらかな陰影は低周波が支配的である。
この定義を使う この定義を使うと、「ぼけた/立った/ノイズが多い」を「どの帯域が増減したか」に言い換えられる。
例題 【問】次の3枚を、空間周波数の高低で分類し、理由を1文で書け。
(A) ピントが合ったエッジ写真 (B) 強くぼかした同じ写真 (C) 塩胡椒ノイズだけ乗せた平坦画像
解法 (A) 高周波が多い(輝度が急変する画素境界がある)。
(B) 高周波が減衰し低周波が支配的(エッジが消える=細かい変化が落ちる)。
(C) 局所の急変=高周波ノイズが増えている(全体の構造は低周波のまま)。
なるほどポイント 定義の「細かさ」を見た目に直結させるのが得点ポイント。復元・フィルタの考察はすべて帯域の話に戻る。 試験の語句では「ぼけ=高周波減衰」と一文で結べればよい。 教材 L2–L4
1b

明るさ変換とコントラスト変換

定義 線形濃淡変換 \(f'=af+b\) において、明るさ変換は全体の平行移動(主に \(b\))、 コントラスト変換は差の拡大・縮小(主に傾き \(a\))である。
\(f' = af + b\)
(1)
この定義を使う この定義を使うと、与えられた \(a,b\) から「明るくなるか/コントラストが強まるか」を数値で判定できる。
例題 【問】\(a=2,\,b=-30\) を画素値 \(f=100\) に適用したときの \(f'\) を求めよ。 また \(a>1\) と \(b>0\) がそれぞれ何を変えるかを答えよ。出力は 0〜255 でクリップされるとする。
解法 \(f'=2\cdot100-30=170\)(クリップ不要)。
\(a>1\) → 差が拡大=コントラスト強調。\(0<a<1\) → 弱め。
\(b>0\) → 全体が明るく、\(b<0\) → 暗くなる。
例: \(f=200\) なら \(2\cdot200-30=370\to255\)(クリップを答案に書く)。
なるほどポイント 定義の \(a\) と \(b\) を「傾き/切片」に対応づけたところが使いどころ。 ヒストグラムが中央に固まる=コントラスト不足、全体が暗い=明るさ不足、と対応づける。 教材 L4–L5
1c

空間フィルタと周波数フィルタ

定義 空間フィルタは近傍画素の重み付き結合。周波数フィルタは DFT 後のスペクトル操作。 どちらも「どの帯域を残すか」が本質だが、実装の舞台が空間か周波数かが違う。
この定義を使う この対比を使うと、第1問の語句で「平均化=空間の低域通過」と一言で結べる。
例題 【問】次の処理を「空間/周波数」のどちらか(または両方の言い換え)で分類せよ。
(1) 3×3 平均化 (2) DFT 後に高周波係数をゼロにして逆変換 (3) 先鋭化カーネルの積和
解法 (1) 空間フィルタ。効果の言い換え=低域通過(高周波を抑える)。
(2) 周波数フィルタ。低域通過。
(3) 空間フィルタ。効果の言い換え=高周波強調(先鋭化)。
なるほどポイント 第2問以降の手計算は空間側が中心。第1問は両語の対比が問われやすい。 ベクトル化・細線化の手順暗記は本試験の主戦場ではない(out-of-scope)。
試験答案の型 語句は「定義→(数値または対比の一例)→何に効くか」。深掘り計算より用語の正確さが配点の中心。
2

空間フィルタリング(畳み込み)

なぜこの章か 試験の計算コア。畳み込みの手計算と「結果から何が起きているか」の考察がセットで出る。
2a

畳み込み(積和)

定義 出力画素は近傍とカーネルの積和である(実装ではカーネルを画像に重ねて足す)。 線形フィルタは重ね合わせが効く。メディアン等の非線形は積和ではない。
\(g(x,y)=\sum_{i,j} f(x-i,y-j)\,h(i,j)\)
(2)
この定義を使う この定義を使うと、小さな画像パッチとカーネルが与えられたとき、注目画素の値を手計算で求められる。
例題 【問】画像パッチ \[ F=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\quad H=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&5&-1\\0&-1&0\end{pmatrix} \] の中心画素(対応する出力)を、畳み込み(要素ごとの積和)で求めよ。境界はパッチ内だけを使う。
解法 中心に \(H\) を重ねて積和する:
\(0\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot3\)
\(+(-1)\cdot4+5\cdot5+(-1)\cdot6\)
\(+0\cdot7+(-1)\cdot8+0\cdot9\)
\(=-2-4+25-6-8=\mathbf{5}\)。
なるほどポイント 定義の「対応要素の積→和」をそのまま答案に書いた。行列の行・列対応を崩すと即減点。 手順の型: (1) カーネル識別 (2) 注目画素の積和 (3) 指定画素すべて (4) 数値の意味を言葉に。 境界処理(ゼロ埋め/複製)を問題文が指定したら明記する。 教材 L6–L7
フェード(途中まで) 同じ \(F\) に平均化 \(H=\tfrac19\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\) を掛けた中心は \(\tfrac19(1+2+\cdots+9)=\tfrac{45}{9}=\square\)。
解答5。平滑化でも中心が5のままなのは、このパッチが線形ランプだから(エッジ画像では下がる)。
2b

平滑化・先鋭化と考察

定義 平滑化カーネルは正の重みで和がおおむね1(低域通過)。先鋭化は中心が大きく周囲が負(高周波強調)。 微分系はエッジ検出向き。
この定義を使う この特徴を使うと、計算結果の数値が「ぼけた/立った」のどちらかを、カーネルの型から先に予想できる。
例題 【問】1次元エッジ信号 \(f=[0,0,10,10]\) の位置2(0始まり、値10の左端)に対し、
(A) 平均化 \([1,1,1]/3\) (B) 簡易先鋭化 \([-1,3,-1]\)
を適用した結果を求め、現象を1文で考察せよ(端はゼロ埋め)。
解法 位置2の近傍は \((0,10,10)\)。
(A) \((0+10+10)/3=20/3\approx6.67\) → エッジが均されぼける
(B) \(-1\cdot0+3\cdot10+(-1)\cdot10=20\) → 値が跳ねエッジが立つ(オーバーシュートもありうる)。
なるほどポイント 試験は計算+考察のセット。カーネル和が1か0か、ノイズとエッジのトレードオフを常備フレーズにする。 「結果がぼけた/立った/ノイズが残った」を必ず一文添える。先鋭化はノイズも強調しうる点を忘れない。
試験答案の型 (1) カーネル識別 (2) 積和の途中式 (3) 全/指定画素 (4) 考察(ぼけ・エッジ・ノイズ)。
3

劣化と復元(逆・ウィナー)

なぜこの章か ぼけ・ぶれで劣化した画像を戻す。逆フィルタの弱点を理解したうえでウィナーに進む定番ルート。第3問は2値処理との二者択一になりやすいが、計算の型は problem8 系がそのまま使える。
3a

劣化モデルと逆フィルタ

定義 空間領域では劣化画像は \(g=f\ast h\)(畳み込み)。周波数領域では積 \(G=FH\) になる。 逆フィルタは \(K=1/H\) で \(\hat{F}=KG\) と戻す操作である。 ただし \(H\) がゼロに近い周波数では \(K\) が発散し、わずかな雑音も巨大に増幅される。
\(G=FH,\quad K=1/H\)
(3)
この定義を使う この定義を使うと、小さな \(f,h\) の DFT から「逆フィルタが定義できない帯域」を具体的に指摘できる。
例題 【問】(problem8 系) \[ f=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad h=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \] の 2×2 DFT(numpy `fft2` 相当)で \(F,H,G=FH\) を求めよ。 逆フィルタ \(K=1/H\) が使えない理由を、\(H\) の成分に即して述べよ。
解法 \(F\) は全成分 1。\(H\) は直流のみ \(H_{00}=4\)、他は 0。
よって \(G_{00}=4\)、他の周波数成分は 0。
直流以外で \(H=0\) なので \(K=1/H\) は定義できない(ゼロ除算)。雑音があればその帯域で発散する。
なるほどポイント 定義の「\(G=FH\)」と「\(K=1/H\)」を数値に落としたのがこの例題。 答案の一文: 「\(H\approx0\) の帯域で逆フィルタが発散し雑音が増幅されるため、単純な逆では実用にならない」。 だから次のウィナーで \(\Gamma\) というブレーキを入れる。 教材 L8 / problem8
3b

ウィナーフィルタ

定義 雑音を見込んだ復元の定番がウィナーフィルタである。試験で多用する形は \(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)。復元スペクトルは \(\hat{F}=WG\)。 \(\Gamma\to0\) で逆フィルタに近づき、\(\Gamma\) を大きくすると平滑寄り(ノイズに強いがぼけやすい)。
\(\hat{F}=WG,\quad W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)
(4)
この定義を使う この式を使うと、problem8 と同じ \(f,h\) に対して直流成分の \(W,\hat{F}\) と復元画像 \(\hat{f}\) を最後まで計算できる。
例題 【問】(problem8 本体)上と同じ \(f,h\) で \(\Gamma=1\) とする。 \(W_{00}\)、\(\hat{F}_{00}\)、IDFT 後の \(\hat{f}\) の各要素を求めよ。手順(DFT→\(G\)→\(W\)→\(\hat{F}\)→IDFT)を答案に残せ。
解法 \(H_{00}=4\)(実)、\(G_{00}=4\)。
\(W_{00}=4^{*}/(|4|^{2}+1)=4/(16+1)=4/17\)。
\(\hat{F}_{00}=(4/17)\cdot4=16/17\)。他の周波数は \(G=0\) より \(\hat{F}=0\)。
IDFT すると \(\hat{f}\) の各要素はすべて 4/17(≈0.235)。 元の \(f\)(1が1画素だけ)には戻らない。
なるほどポイント 定義の \(H^{*}\) と分母の \(\Gamma\) を両方使ったのがポイント。 落とし穴: (1) 共役を忘れる (2) \(|H|^{2}\) を \(H^{2}\) と書く (3) \(\Gamma\) の意味を書かない。 類題は \(\Gamma\) だけ変えることが多い → 分母 \(16+\Gamma\) の型を身体で覚える。 AI整理・数値検算済(fft2)
フェード 同じ \(f,h\) で \(\Gamma=3\) のとき \(W_{00}=4/(16+\square)=\square\)。\(\hat{F}_{00}=\square\)。\(\hat{f}\) 各要素=\(\square\)。
解答\(W_{00}=4/19\)、\(\hat{F}_{00}=16/19\)、各要素 \(4/19\)。
試験答案の型 試験答案は DFT→\(G\)→\(W\)→\(\hat{F}\)→IDFT の順。発散理由と \(\Gamma\) を言語化して締める。
4

2値画像処理・輪郭追跡

なぜこの章か 「劣化復元」と二者択一で出やすい。連結性・ラベリング・輪郭追跡が計算・図示問題になる。定義(連結)を先に固定しないと、以降のラベルも追跡も全部ぶれる。
4a

連結性・ラベリング

定義 4連結は上下左右のみ、8連結は斜めも含む隣接の定義である。 ラベリングはラスタスキャン(左→右、上→下)で未ラベルの前景に仮番号を付け、 すでに番号が付いた隣と衝突したら LUT(統合表)に「同じ物体」と記録し、最後に代表番号へ畳み込む。
この定義を使う この定義を使うと、同じ白黒図でも「物体が何個か」が連結の取り方で変わることを、図で示せる。
例題 【問】次の 3×3 二値画像(1=前景)について、4連結と8連結それぞれで連結成分の個数を答えよ。 \[ \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \] またラスタスキャン(左上から)で仮ラベルを振るとき、最初に衝突が起きる画素を指摘せよ(8連結)。
解法 前景画素: \((0,1),(1,0),(1,1),(2,2)\)(行,列・0始まり)。
4連結: \((0,1)\)–\((1,1)\)–\((1,0)\) が一塊、\((2,2)\) は斜めのみで非連結 → 2個
8連結: \((1,1)\) と \((2,2)\) が斜め隣接 → 全体が1塊 → 1個
8連結ラスタ: 例えば \((0,1)\) に1、\((1,0)\) に2、\((1,1)\) で上=1・左=2が衝突 → LUT で 1≡2。
なるほどポイント 減点パターンは「連結を明示しない」「LUT を途中で捨てる」「最終表まで書かない」。 図を答案に再掲し、衝突箇所に矢印を書くと部分点が残りやすい。 教材 L9 / problem9
4b

輪郭追跡

定義 輪郭追跡は境界画素をあらかじめ決めた規則で辿り、チェーンコードなどに符号化する処理である。 本質は開始点・連結定義・次画素の探索順(時計回り/反時計回り)を固定すること。途中で規則を変えない。
この定義を使う この規則を使うと、「次の境界画素はどれか」を候補の探索順だけで一意に決められる。
例題 【問】8連結・時計回り探索で、開始点を左上の境界画素とする。 2×2 の塗りつぶし前景(すべて1)の外輪郭を辿るとき、開始直後の「次画素」の選び方を答案用に手順化せよ。
解法 (1) 連結=8、探索順=時計回り、開始点を答案冒頭に書く。
(2) 現在画素の周囲8近傍を、決めた開始方位から時計回りに走査。
(3) 最初に見つかった前景境界を次画素にする(内向きと外向きを混在させない)。
(4) 開始点に戻るまで繰り返し、訪問列またはチェーンコードを書く。
なるほどポイント 試験では「次の画素はどれか」の一問や短いチェーンコードが問われやすい。 答案に探索順を短く書いておくと、最終座標がずれても部分点が残りやすい。規則の固定が全てである。
試験答案の型 試験答案: 連結定義→走査/追跡の規則→途中経過→最終ラベルまたは輪郭列。
5

テンプレートマッチング

なぜこの章か パターン検出の基本。スライド位置ごとに相違度を計算し、最良位置を答える手計算が出る。定義(SSD の式)→全候補表→最小の読み取り、が答案の型そのもの。
5a

SSD テンプレートマッチング

定義 テンプレート \(T\) を画像 \(I\) 上でずらし、各位置の相違度を測る。代表が \(\mathrm{SSD}=\sum(I-T)^{2}\)(二乗和)。SAD は絶対値和。NCC は正規化相関で最大が一致。 SSD/SAD は最小、NCC は最大が「一番似ている位置」。
\(\mathrm{SSD}(x,y)=\sum_{i,j}[I(x+i,y+j)-T(i,j)]^{2}\)
(5)
この定義を使う この定義を使うと、スライド可能な全位置で SSD を表に書き、最小のマスを囲めば検出位置が決まる。
例題 【問】(problem11) \[ I=\begin{pmatrix} 1&2&3&2&1\\ 2&3&4&3&2\\ 3&4&10&4&3\\ 2&3&4&3&2\\ 1&2&3&2&1 \end{pmatrix},\quad T=\begin{pmatrix}2&3&2\\3&4&3\\2&3&2\end{pmatrix} \] 移動量1で左上からラスタ走査する。SSD が最小となるテンプレート左上座標(1始まり)と、 そのときのテンプレート中心座標、最小 SSD を求めよ。
解法 候補は 3×3=9 箇所。各左上 \((x,y)\)(1始まり)の SSD:
x=1x=2x=3
y=1725772
y=2574457
y=3725772
最小は左上 (2,2)、SSD=44。テンプレート中心は左上から (+1,+1) なので (3,3)
なるほどポイント 定義の「差の二乗を全部足す→最小」を表にしただけ。イメージは型紙をずらしてすき間最小の場所。 問題文が「中心座標」か「左上座標」かを必ず確認する——ここを落とすと計算が合っていても零点になりうる。 検算済 教材 L11 / problem11
フェード 左上 (1,1) の SSD は □。最小は左上 □/中心 □。
解答72。左上 (2,2)/中心 (3,3)。
5b

SAD / NCC との使い分け

定義 SAD は \(\sum|I-T|\)。計算は軽いが外れ値に弱い場合がある。 NCC は平均・ノルムで正規化し、明るさの一様変化に強い。目的と計算量で使い分ける。
この定義を使う この対比を使うと、SSD 手計算のあと「もし全体が +10 明るくなったら」という考察文を書ける。
例題 【問】同じ \(I,T\) で SSD 最小位置が (2,2)(左上)だったとする。 画像全体に定数 +10 を足したとき、SSD と NCC の「最適位置」について起こりうる違いを述べよ(厳密再計算は不要)。
解法 SSD: 差の二乗なのでオフセットの影響を受け、最適位置が変わりうる(またはスコア全体が悪化する)。
NCC: 平均除去・正規化により相対パターンが保たれやすく、一致位置は保たれやすい。
答案では「最小か最大か」「中心か左上か」を先に宣言する。
なるほどポイント 試験では SSD 手計算が本線。SAD/NCC は語句や考察で触れる。
試験答案の型 試験答案: 全候補の表→最小を囲む→中心/左上の指定を確認→一言考察。
6

ミーンシフト法

なぜこの章か ミーンシフトの応用計算が明示的に出題される。空間+色の特徴で重み付き平均へ動かす手順を追えること。定義(カーネルとバンド幅)→1ステップ更新→平滑化後の色、が型。
6a

ミーンシフト(空間+色)

定義 画素情報を \(z=(x,v)\)(位置と色)として、カーネル重み付き平均の点へ反復移動するのがミーンシフトである。 エパネックニコフカーネルは帯域内で \(1-u^{2}\) 形(帯域外は0)。バンド幅は空間 \(h_s\) と色 \(h_d\)。 重みは空間・色それぞれのカーネルの積 \(K_s K_d\) とする。
この定義を使う この定義を使うと、各点について「帯域内か?」→重み→加重平均、の1ステップ更新を手で追える。
例題 【問】(problem10_2) \(z_1=(0,0,200,0,0)\), \(z_2=(1,0,190,0,0)\), \(z_3=(10,10,0,200,0)\)、 \(h_s=2\), \(h_d=20\)。初期値 \(y_0=z_1\) の1ステップ後の空間位置 \(y^x_1\) と色 \(y^v_1\) を求めよ。
解法 各点の \(u_s^{2}=\|x-x_i\|^{2}/h_s^{2}\)、\(u_d^{2}=\|v-v_i\|^{2}/h_d^{2}\)、\(K=\max(0,1-u^{2})\)。
\(z_1\): \(u_s^{2}=u_d^{2}=0\) → \(K_s=K_d=1\) → 重み \(w_1=1\)。
\(z_2\): \(u_s^{2}=1/4\), \(u_d^{2}=(10/20)^{2}=1/4\) → \(K=3/4\) ずつ → \(w_2=(3/4)^{2}=9/16\)。
\(z_3\): 空間も色も帯域外 → \(w_3=0\)。
\(W=1+9/16=25/16\)。
空間: \(x=(1\cdot(0,0)+(9/16)\cdot(1,0))/W=(9/16)/(25/16)=(9/25,0)=(\mathbf{0.36},0)\)。
色 R: \((1\cdot200+(9/16)\cdot190)/W=196.4\)、G=B=0。
なるほどポイント 定義の「帯域外は寄与0」「加重平均へ動く」を数値で見た。遠い緑点 \(z_3\) は引っ張らない。 分数は約分してよいが、式と代入過程は残す。 AI整理・検算済 教材 L10 / problem10_2
フェード 初期値を \(z_2\) にした1ステップの空間 \(x\) は □(約0.64)。\(z_3\) 初期なら重みは自分以外 □。
解答\(x\approx(0.64,0)\)。\(z_3\) 初期では他点の重みはすべて0(自分だけ残る)。
6b

平滑化結果の読み方

定義 各画素を初期値として収束(または指定ステップ)させたあと、収束後の色をその画素の新しい色にする。 これがミーンシフト平滑化(エッジを保ちやすい平滑)の試験でのゴール表現。
この定義を使う この手続きを使うと、「どの画素がどの色クラスに吸収されたか」を帯域の話で説明できる。
例題 【問】上の3点について、各初期値から1ステップ(または収束)後の色を並べ、 \(z_3\) が他と混ざりにくい理由をバンド幅で述べよ。
解法 \(y_0=z_1\) → 色 ≈(196.4, 0, 0)(赤同士で均される)。
\(y_0=z_2\) → 色 ≈(193.6, 0, 0)。
\(y_0=z_3\) → 色 =(0, 200, 0) のまま(他点の重み0)。
理由: \(z_3\) は空間距離・色距離がともに \(h_s,h_d\) の帯域を超え、カーネルが0になるから。
なるほどポイント 計算量の話より「帯域外は寄与0」「加重平均へ動く」の2点を答案の主軸にする。 ガボールやベクトル化は周辺・対象外。時間をミーンシフトの手計算に使う。
試験答案の型 試験答案: 帯域判定→カーネル重み→加重平均→初期値違い→平滑化後の色。
7

補足:ハフ・フロー・符号化

なぜこの章か 練習問題にあり試験の周辺知識。主5問を固めたあとの加点枠。定義の式を書いて代入できるかが最低ライン。
7a

ハフ変換(直線)

定義 直線は \(\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\) で表す。画像上の1点はパラメータ空間で曲線になり、 複数点の曲線の交点が「それらを通る直線」の \((\theta,\rho)\) になる(投票の山)。
\(\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\)
(6)
この定義を使う この式を使うと、与えられた点と \(\theta\) から \(\rho\) を計算し、交点=直線候補と読める。
例題 【問】点 P1\((2,0)\)、P2\((0,2)\) について \(\theta=45^\circ\) のときの \(\rho_1,\rho_2\) を求め、 同一直線候補かどうか判定せよ。直交座標の式も書け。
解法 \(\cos45^\circ=\sin45^\circ=1/\sqrt{2}\)。
\(\rho_1=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}\)、\(\rho_2=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}\)。一致 → 同一直線候補。
直交座標では \(y=-x+2\)(両点を通る)。投票のピーク=直線検出。
なるほどポイント ハフは「点の証拠をパラメータ空間に積み上げる投票」。主5問の次点だが、代入は短く得点源。 教材 L12–L13 / problem12–13
7b

光学フローと符号化(周辺)

定義 光学フローの基本拘束は \(I_x u+I_y v=-I_t\)(明るさ一定仮定)。未知が2つ・式が1つなので追加仮定が要る。 JPEG はレベルシフト→DCT→量子化→ジグザグが骨格で、情報が主に落ちるのは量子化。
この定義を使う この拘束式を使うと、勾配と時間差分が与えられたとき「自由度が足りない」と指摘できる。
例題 【問】(1) \(I_x=2,\,I_y=-1,\,I_t=4\) のとき拘束式を書け。未知は何か。
(2) JPEG で情報が主に落ちる段階はどこか。
解法 (1) \(2u+(-1)v=-4\) すなわち \(2u-v=-4\)。未知は \((u,v)\) の2つで式は1本 → 一意に決まらない。
(2) 量子化。
なるほどポイント 優先度はフィルタ・復元・TM・ミーンシフトの次。出たら定義と1ステップで部分点を取りにいく。 細線化〜折れ線近似のベクトル化手順は試験対象外(out-of-scope)。
試験答案の型 試験答案: 定義の式を書いて代入。投票/拘束/量子化のキーワードを落とさない。

用語集(40語)

用語定義
画素(ピクセル)ディジタル画像の最小単位。位置と輝度/色値を持つ5×5画像は25画素
階調輝度の量子化レベル数。8bitなら0〜255bit深度とほぼ同義
空間周波数画像平面上での輝度変化の細かさ。高いほど細かい模様エッジは高周波成分を含む
濃淡変換各画素の輝度を関数で写す点演算(ヒストグラム操作など)明るさ・コントラスト変換
明るさ変換全画素に定数を加減し全体の明るさを変える\(f^{\prime}=f+b\)
コントラスト変換輝度の差を拡大/縮小する傾き\(a\)の線形変換 \(f^{\prime}=af+b\)
ヒストグラム各階調の出現頻度の分布平坦化でコントラスト改善
空間フィルタリング近傍画素の重み付き結合で出力を作る処理畳み込みと同義に扱うことが多い
畳み込み(たたみ込み)カーネルと画像の対応要素積の和\(g=f\ast h\)
カーネル/マスクフィルタの重み配列(例: 3×3)平滑化・先鋭化・微分
平均化フィルタ近傍の平均で平滑化しノイズを抑えるエッジもぼける
ガウシアンフィルタ距離に応じた正規分布重みの平滑化平均化より自然にぼける
メディアンフィルタ近傍中央値。非線形。塩胡椒ノイズに強いエッジ保存しやすい
ラプラシアン2階微分に基づくエッジ強調フィルタ先鋭化カーネルの核
周波数領域フィルタDFT後にスペクトルを操作してから逆変換理想LPF/HPFなど
点拡がり関数(PSF)点が像面上でどう広がるかを表す劣化カーネル焦点ぼけのモデル
劣化モデル\(g=f\ast h\)(+雑音)。周波数では \(G=FH\)復元の出発点
逆フィルタ\(K=1/H\) で復元。\(H\approx 0\) で発散し雑音が増幅理想条件以外は危険
ウィナーフィルタ復元誤差を最小化するフィルタ。雑音項で正則化\(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)
2値画像前景/背景の2値だけの画像ラベリング・輪郭の土台
4連結/8連結上下左右のみ/斜めも含めた隣接定義輪郭・ラベリング結果が変わる
ラスタスキャン左上から右へ、次の行へ進む走査順ラベリングやTMの走査
輪郭追跡境界画素を一定規則で辿り輪郭を抽出チェーンコードと併用
ラベリング連結成分ごとに番号を付けるLUTで結合を解決
テンプレートマッチング標準パターンを画像上でずらし類似位置を探すSSD/SAD/NCC
SSD差の二乗和。0に近いほど一致最小位置が検出位置
SAD差の絶対値和SSDより計算が軽い場合あり
NCC正規化相互相関。一致で最大1明るさ変化に比較的強い
ミーンシフト密度が高い方向へ標本を反復移動する手法平滑化・セグメンテーション
エパネックニコフカーネル帯域内で \(1-u^{2}\) の形を持つカーネルミーンシフトの重み
バンド幅 hs, hd空間/色のカーネル幅。大きいほど強く平滑化problem10_2 では hs=2, hd=20
ハフ変換点をパラメータ空間に投票し直線・円を検出\(\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\)
ガボールフィルタガウス窓×正弦で方向・周波数を選択的に抽出テクスチャ解析
光学フロー連続フレーム間の見かけの動き場 \((u,v)\)制約式 \(I_{x}u+I_{y}v+I_{t}=0\)
再標本化幾何変換後に格子点の値を補間で決める逆変換+補間が定石
バイリニア補間周囲4点の加重平均ジャギー低減、エッジは鈍る
ベクトル化細線化後に端点・分岐で線分近似する処理本試験では出題対象外
細線化連結性を保ち線幅1まで削るベクトル化の前処理
JPEGDCT+量子化+ジグザグ+符号化の圧縮ブロック単位処理
DCT離散コサイン変換。低周波にエネルギーを集めるJPEGの核

足場かけ演習(worked → faded → solo)

章本文は定義→使う→例題→解法→なるほど。ここは手数の反復(完成例→空欄→自力)。 模範解答はAI整理(公式正解ではない)

型A:ウィナー復元(problem8系)〈第3問〉

① ワーク(完成例) \(f=[[1,0],[0,0]]\), \(h=[[1,1],[1,1]]\), \(\Gamma=1\)。
DFTで \(H_{00}=4\)、他0。\(G_{00}=4\)。\(W_{00}=4/17\)。\(\hat{F}_{00}=16/17\)。IDFTで \(\hat{f}\) の各要素=4/17。
② フェード 同じ \(f,h\) で \(\Gamma=3\) のとき \(W_{00}=4/(16+\square)=\square\)。\(\hat{F}_{00}=\square\)。
解答\(W_{00}=4/19\)、\(\hat{F}_{00}=16/19\)。\(\hat{f}\) 各要素=4/19。
③ 自力(solo) \(f=[[2,0],[0,0]]\), \(h=[[1,0],[0,1]]\), \(\Gamma=1\)。直流および \(H\neq0\) の成分について \(G,W,\hat{F}\) を求め、\(\hat{f}\) を書け。
解答例 \(F\) は全成分2。\(H_{00}=H_{11}=2\)、他0。\(G_{00}=G_{11}=4\)。
\(W_{00}=W_{11}=2/(4+1)=2/5\)。\(\hat{F}_{00}=\hat{F}_{11}=8/5\)。
IDFT で \(\hat{f}=[[0.8,0],[0,0.8]]\)。

型B:SSDテンプレート(problem11系)〈第4問〉

① ワーク I中央が10の山、Tが山の「裾」。9候補のSSD表 → 最小44 → 左上(2,2) → 中心(3,3)。
② フェード 同じI,Tで左上(1,1)のSSDは□。最小は左上□/中心□。
解答72。左上(2,2)/中心(3,3)。
③ 自力 左上(2,1)のSSDを手計算し、表の57と一致するか確認せよ。また「中心座標を問われた」場合の答えを書け。
解答例 パッチは行1–3・列2–4(1始まり)の [[2,3,2],[3,4,3],[2,3,2]] ではなく I の該当3×3。計算すると57。中心は(3,2)。

型C:ミーンシフト1ステップ(problem10_2系)〈第5問〉

① ワーク y0=z1。\(w_1=1\), \(w_2=9/16\), \(w_3=0\) → \(x=(0.36,0)\), R≈196.4。
② フェード z3 の重みが0になる理由は、□がバンド幅を超えるから。
解答空間距離および色距離が大きく、カーネル引数 \(u^{2}>1\) となるため。
③ 自力 初期値を z2 にした1ステップの空間位置と色Rを求めよ。
解答例\(x\approx(0.64,0)\), R≈193.6(G=B=0)。

型D:畳み込み+考察〈第2問〉

① ワーク 先鋭化 3×3 を [[1..9]] に適用 → 中心5。平均化でもこのパッチでは中心5(ランプ)。 エッジ信号では平均化で値が落ち「ぼけ」、先鋭化で跳ね「立つ」。
② フェード 同じエッジにラプラシアン系を掛けた結果はエッジが□する。
解答強調される(立って見える)。
③ 自力 画像 [[2,2,2],[2,8,2],[2,2,2]] に平均化 1/9 と先鋭化 [[0,-1,0],[-1,5,-1],[0,-1,0]] をそれぞれ中心に適用し、 数値と考察(ぼけ/立ち)を3行で書け。
解答例 平均化: \((16+8)/9=24/9=8/3\approx2.67\) → ピークが均されぼける。
先鋭化: \(-2-2+40-2-2=32\) → ピークが立ち、周囲との差が拡大。

型E:連結・ラベリング〈第3問・2値側〉

① ワーク 3×3 で斜めだけつながる図 → 4連結で2個、8連結で1個。衝突は LUT。
② フェード 4連結で隣接に含めるのは上下左右だけで、□は含めない。
解答斜め(対角)。
③ 自力 \[ \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix} \] の連結成分数を4連結/8連結で答えよ。
解答4連結: 5個(各1が孤立)。8連結: 1個(斜めで全体が連結)。

確信度診断

間違いノート

localStorage: sg:image-processing:journal

まだありません。

出典・頁マトリクス

20
カバレッジ行
40
用語
27
診断
1
ベクトル化除外

out-of-scope: 線画像のベクトル化(細線化〜折れ線近似の手順暗記)は試験に出ない方針。教材第10回前半に存在するが本文の試験対象から除外。

トピック状態試験アンカー
導入・画像処理の全体像L1covered#ch1
画像の表現・標本化・空間周波数L2covered#ch1
画像生成の光学的モデルL3covered#ch1
濃淡変換・明るさ・コントラストL4covered#ch1
色表現L5covered#ch1
空間フィルタリング基礎L6covered#ch2
空間/周波数フィルタリングL7covered#ch2
画像の劣化と復元(逆・ウィナー)L8covered#ch3
2値画像・輪郭追跡・ラベリングL9covered#ch4
ガボール/ミーンシフト(第10回・計算)L10covered#ch6
線画像のベクトル化・細線化L10out-of-scope#ch1
テンプレートマッチング(SSD等)L11covered#ch5
ハフ変換・図形要素検出L12covered#ch7
動画像・符号化(JPEG概要)L13covered#ch7
練習問題8(劣化・ウィナー)L8covered#scaffold
練習問題9(輪郭・ラベリング等)L9covered#ch4
練習問題10(ガボール・ミーンシフト)L10covered#ch6
練習問題11(SSDテンプレート)L11covered#ch5
練習問題12(ハフ・フロー)L12covered#ch7
練習問題13(JPEG/DCT)L13covered#ch7

教材: lectures/materials/image_processing。解答はAI整理・一部数値は生成時に検算。

直前チェック