STUDY GUIDE · 画像処理
期末試験対策 · 2026-07-22 4限
画像処理
教科書ノート
第8〜13回（杉村）を主戦場に、第1〜7回（塩田）は語句説明レベル。各概念は定義→使う→例題→解法→なるほど（完成例→フェード）。ベクトル化は試験対象外。
試
出題範囲・試験情報
期末試験（スライド「試験内容」準拠）· 章対応つき
試験情報
| 日時 | 7月22日（水）4限 |
|---|---|
| 場所 | 2号館大講義室B |
| 解答時間 | 70分 |
| 持ち込み | すべて不可（スマートウォッチ等の通信機能付きも不可） |
| 座席 | 前から詰める／後ろ不可／隣り合わない／学生証必須 |
試験内容 ↔ 本サイトの章
- 第1問 · 語句の説明（基礎・塩田寄り）→ §1 基礎用語・用語集
- 第2問 · 空間フィルタリング（畳み込み＋考察）→ §2・足場かけ型D
- 第3問 · 劣化と復元 または 2値画像処理 → §3 復元 / §4 2値
- 第4問 · テンプレートマッチングの応用 → §5・足場かけ型B
- 第5問 · ミーンシフト法の応用 → §6・足場かけ型C
計算問題は練習問題の類題が出る。§7は主5問外の周辺知識。
本サイトの対策方針
| 第1〜7回（塩田） | 第1問・語句説明レベル（§1） |
|---|---|
| 第8〜13回（杉村） | 第2〜5問のメイン対策（§2–§6） |
| 重点 | フィルタ計算と考察、逆/ウィナー、輪郭追跡、TM、ミーンシフト |
| 出ない | 画像のベクトル化 |
0
全問の土台 · 特に第1問
ゼロ起点 Primer — 初めての用語
なぜこのノートか
観測画像はぼけ・雑音・幾何ずれを含む。フィルタ・復元・検出で「使える情報」に直すのが本科目の一本線。
各概念は 定義 → この定義を使う → 例題（問）→ 解法 → なるほど。抽象解説を例題の前に置かない。
定義
画素・空間周波数・畳み込み・PSF・逆/ウィナー・SSD・ミーンシフト。この語彙があれば計算問題の日本語が読める。
この定義を使う
3×3の積和を1回。SSDを1窓。\(W=H^{*}/(|H|^{2}+1)\) に数字を1回代入——定義を答案に書く直前の「宣言」。
例題
章本文の【問】は試験・宿題の類題。数値・行列が明示されているものを選んで手を動かす。
なるほどポイント
空間フィルタ＝近くを見て直す。周波数＝模様の細かさ。マッチング＝型紙。ミーンシフト＝似た色へ寄る。
学習ルート（70分想定）: 速習→§2,3,5,6の例題を解法ごと精読→足場かけ→診断。塩田は用語集。ベクトル化はスキップ。
試験答案の型
語句は定義→効きの一言。計算は定義の式→数値代入→結果の意味。この順が配点の型そのもの。
速
第1〜5問 · 直前1枚
直前1枚速習
| 問 | 論点 | キーワード |
|---|---|---|
| 第1問 | 語句 | 空間周波数／明るさ・コントラスト／ヒストグラム |
| 第2問 | 空間フィルタ | 畳み込み・平滑化 vs 先鋭化・考察（ぼけ/ノイズ） |
| 第3問 | 復元 or 2値 | \(G=FH\)、ウィナー \(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)／4・8連結・輪郭・LUT |
| 第4問 | TM | SSD最小（中心か左上か確認）／SAD／NCC |
| 第5問 | ミーンシフト | エパネックニコフ、hs/hd、加重平均へ移動 |
| — | 除外 | ベクトル化・細線化手順の暗記は出ない |
目
学ぶ — 章 TOC
1
第1問対策 · 語句の説明（基礎・塩田）
基礎用語（第1〜7回・塩田）
なぜこの章か
期末の先頭は「語句の説明」になりやすい。空間周波数・濃淡変換・フィルタ種別を、計算問題の前提として短く正確に言えるかが鍵。教材 L1–L7
1a
空間周波数
定義
空間周波数とは、画像平面上で輝度がどれだけ細かく変化するかの尺度である。
細かい模様・鋭いエッジは高周波成分が多く、なだらかな陰影は低周波が支配的である。
この定義を使う
この定義を使うと、「ぼけた／立った／ノイズが多い」を「どの帯域が増減したか」に言い換えられる。
例題
【問】次の3枚を、空間周波数の高低で分類し、理由を1文で書け。
(A) ピントが合ったエッジ写真 (B) 強くぼかした同じ写真 (C) 塩胡椒ノイズだけ乗せた平坦画像
(A) ピントが合ったエッジ写真 (B) 強くぼかした同じ写真 (C) 塩胡椒ノイズだけ乗せた平坦画像
解法
(A) 高周波が多い（輝度が急変する画素境界がある）。
(B) 高周波が減衰し低周波が支配的（エッジが消える＝細かい変化が落ちる）。
(C) 局所の急変＝高周波ノイズが増えている（全体の構造は低周波のまま）。
(B) 高周波が減衰し低周波が支配的（エッジが消える＝細かい変化が落ちる）。
(C) 局所の急変＝高周波ノイズが増えている（全体の構造は低周波のまま）。
なるほどポイント
定義の「細かさ」を見た目に直結させるのが得点ポイント。復元・フィルタの考察はすべて帯域の話に戻る。
試験の語句では「ぼけ＝高周波減衰」と一文で結べればよい。
教材 L2–L4
1b
明るさ変換とコントラスト変換
定義
線形濃淡変換 \(f'=af+b\) において、明るさ変換は全体の平行移動（主に \(b\)）、
コントラスト変換は差の拡大・縮小（主に傾き \(a\)）である。
\(f' = af + b\)
(1)
この定義を使う
この定義を使うと、与えられた \(a,b\) から「明るくなるか／コントラストが強まるか」を数値で判定できる。
例題
【問】\(a=2,\,b=-30\) を画素値 \(f=100\) に適用したときの \(f'\) を求めよ。
また \(a>1\) と \(b>0\) がそれぞれ何を変えるかを答えよ。出力は 0〜255 でクリップされるとする。
解法
\(f'=2\cdot100-30=170\)（クリップ不要）。
\(a>1\) → 差が拡大＝コントラスト強調。\(0<a<1\) → 弱め。
\(b>0\) → 全体が明るく、\(b<0\) → 暗くなる。
例: \(f=200\) なら \(2\cdot200-30=370\to255\)（クリップを答案に書く）。
\(a>1\) → 差が拡大＝コントラスト強調。\(0<a<1\) → 弱め。
\(b>0\) → 全体が明るく、\(b<0\) → 暗くなる。
例: \(f=200\) なら \(2\cdot200-30=370\to255\)（クリップを答案に書く）。
なるほどポイント
定義の \(a\) と \(b\) を「傾き／切片」に対応づけたところが使いどころ。
ヒストグラムが中央に固まる＝コントラスト不足、全体が暗い＝明るさ不足、と対応づける。
教材 L4–L5
1c
空間フィルタと周波数フィルタ
定義
空間フィルタは近傍画素の重み付き結合。周波数フィルタは DFT 後のスペクトル操作。
どちらも「どの帯域を残すか」が本質だが、実装の舞台が空間か周波数かが違う。
この定義を使う
この対比を使うと、第1問の語句で「平均化＝空間の低域通過」と一言で結べる。
例題
【問】次の処理を「空間／周波数」のどちらか（または両方の言い換え）で分類せよ。
(1) 3×3 平均化 (2) DFT 後に高周波係数をゼロにして逆変換 (3) 先鋭化カーネルの積和
(1) 3×3 平均化 (2) DFT 後に高周波係数をゼロにして逆変換 (3) 先鋭化カーネルの積和
解法
(1) 空間フィルタ。効果の言い換え＝低域通過（高周波を抑える）。
(2) 周波数フィルタ。低域通過。
(3) 空間フィルタ。効果の言い換え＝高周波強調（先鋭化）。
(2) 周波数フィルタ。低域通過。
(3) 空間フィルタ。効果の言い換え＝高周波強調（先鋭化）。
なるほどポイント
第2問以降の手計算は空間側が中心。第1問は両語の対比が問われやすい。
ベクトル化・細線化の手順暗記は本試験の主戦場ではない（out-of-scope）。
試験答案の型
語句は「定義→（数値または対比の一例）→何に効くか」。深掘り計算より用語の正確さが配点の中心。
2
第2問対策 · 空間フィルタリング（畳み込み＋考察）
空間フィルタリング（畳み込み）
なぜこの章か
試験の計算コア。畳み込みの手計算と「結果から何が起きているか」の考察がセットで出る。
2a
畳み込み（積和）
定義
出力画素は近傍とカーネルの積和である（実装ではカーネルを画像に重ねて足す）。
線形フィルタは重ね合わせが効く。メディアン等の非線形は積和ではない。
\(g(x,y)=\sum_{i,j} f(x-i,y-j)\,h(i,j)\)
(2)
この定義を使う
この定義を使うと、小さな画像パッチとカーネルが与えられたとき、注目画素の値を手計算で求められる。
例題
【問】画像パッチ
\[
F=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\quad
H=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&5&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}
\]
の中心画素（対応する出力）を、畳み込み（要素ごとの積和）で求めよ。境界はパッチ内だけを使う。
解法
中心に \(H\) を重ねて積和する:
\(0\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot3\)
\(+(-1)\cdot4+5\cdot5+(-1)\cdot6\)
\(+0\cdot7+(-1)\cdot8+0\cdot9\)
\(=-2-4+25-6-8=\mathbf{5}\)。
\(0\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot3\)
\(+(-1)\cdot4+5\cdot5+(-1)\cdot6\)
\(+0\cdot7+(-1)\cdot8+0\cdot9\)
\(=-2-4+25-6-8=\mathbf{5}\)。
なるほどポイント
定義の「対応要素の積→和」をそのまま答案に書いた。行列の行・列対応を崩すと即減点。
手順の型: (1) カーネル識別 (2) 注目画素の積和 (3) 指定画素すべて (4) 数値の意味を言葉に。
境界処理（ゼロ埋め／複製）を問題文が指定したら明記する。
教材 L6–L7
フェード（途中まで）
同じ \(F\) に平均化 \(H=\tfrac19\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\) を掛けた中心は
\(\tfrac19(1+2+\cdots+9)=\tfrac{45}{9}=\square\)。
解答
5。平滑化でも中心が5のままなのは、このパッチが線形ランプだから（エッジ画像では下がる）。2b
平滑化・先鋭化と考察
定義
平滑化カーネルは正の重みで和がおおむね1（低域通過）。先鋭化は中心が大きく周囲が負（高周波強調）。
微分系はエッジ検出向き。
この定義を使う
この特徴を使うと、計算結果の数値が「ぼけた／立った」のどちらかを、カーネルの型から先に予想できる。
例題
【問】1次元エッジ信号 \(f=[0,0,10,10]\) の位置2（0始まり、値10の左端）に対し、
(A) 平均化 \([1,1,1]/3\) (B) 簡易先鋭化 \([-1,3,-1]\)
を適用した結果を求め、現象を1文で考察せよ（端はゼロ埋め）。
(A) 平均化 \([1,1,1]/3\) (B) 簡易先鋭化 \([-1,3,-1]\)
を適用した結果を求め、現象を1文で考察せよ（端はゼロ埋め）。
解法
位置2の近傍は \((0,10,10)\)。
(A) \((0+10+10)/3=20/3\approx6.67\) → エッジが均されぼける。
(B) \(-1\cdot0+3\cdot10+(-1)\cdot10=20\) → 値が跳ねエッジが立つ（オーバーシュートもありうる）。
(A) \((0+10+10)/3=20/3\approx6.67\) → エッジが均されぼける。
(B) \(-1\cdot0+3\cdot10+(-1)\cdot10=20\) → 値が跳ねエッジが立つ（オーバーシュートもありうる）。
なるほどポイント
試験は計算＋考察のセット。カーネル和が1か0か、ノイズとエッジのトレードオフを常備フレーズにする。
「結果がぼけた／立った／ノイズが残った」を必ず一文添える。先鋭化はノイズも強調しうる点を忘れない。
試験答案の型
(1) カーネル識別 (2) 積和の途中式 (3) 全／指定画素 (4) 考察（ぼけ・エッジ・ノイズ）。
3
第3問対策 · 劣化と復元（二者択一の一方）
劣化と復元（逆・ウィナー）
なぜこの章か
ぼけ・ぶれで劣化した画像を戻す。逆フィルタの弱点を理解したうえでウィナーに進む定番ルート。第3問は2値処理との二者択一になりやすいが、計算の型は problem8 系がそのまま使える。
3a
劣化モデルと逆フィルタ
定義
空間領域では劣化画像は \(g=f\ast h\)（畳み込み）。周波数領域では積 \(G=FH\) になる。
逆フィルタは \(K=1/H\) で \(\hat{F}=KG\) と戻す操作である。
ただし \(H\) がゼロに近い周波数では \(K\) が発散し、わずかな雑音も巨大に増幅される。
\(G=FH,\quad K=1/H\)
(3)
この定義を使う
この定義を使うと、小さな \(f,h\) の DFT から「逆フィルタが定義できない帯域」を具体的に指摘できる。
例題
【問】（problem8 系）
\[
f=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad
h=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
\]
の 2×2 DFT（numpy `fft2` 相当）で \(F,H,G=FH\) を求めよ。
逆フィルタ \(K=1/H\) が使えない理由を、\(H\) の成分に即して述べよ。
解法
\(F\) は全成分 1。\(H\) は直流のみ \(H_{00}=4\)、他は 0。
よって \(G_{00}=4\)、他の周波数成分は 0。
直流以外で \(H=0\) なので \(K=1/H\) は定義できない（ゼロ除算）。雑音があればその帯域で発散する。
よって \(G_{00}=4\)、他の周波数成分は 0。
直流以外で \(H=0\) なので \(K=1/H\) は定義できない（ゼロ除算）。雑音があればその帯域で発散する。
なるほどポイント
定義の「\(G=FH\)」と「\(K=1/H\)」を数値に落としたのがこの例題。
答案の一文: 「\(H\approx0\) の帯域で逆フィルタが発散し雑音が増幅されるため、単純な逆では実用にならない」。
だから次のウィナーで \(\Gamma\) というブレーキを入れる。
教材 L8 / problem8
3b
ウィナーフィルタ
定義
雑音を見込んだ復元の定番がウィナーフィルタである。試験で多用する形は
\(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)。復元スペクトルは \(\hat{F}=WG\)。
\(\Gamma\to0\) で逆フィルタに近づき、\(\Gamma\) を大きくすると平滑寄り（ノイズに強いがぼけやすい）。
\(\hat{F}=WG,\quad W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)
(4)
この定義を使う
この式を使うと、problem8 と同じ \(f,h\) に対して直流成分の \(W,\hat{F}\) と復元画像 \(\hat{f}\) を最後まで計算できる。
例題
【問】（problem8 本体）上と同じ \(f,h\) で \(\Gamma=1\) とする。
\(W_{00}\)、\(\hat{F}_{00}\)、IDFT 後の \(\hat{f}\) の各要素を求めよ。手順（DFT→\(G\)→\(W\)→\(\hat{F}\)→IDFT）を答案に残せ。
解法
\(H_{00}=4\)（実）、\(G_{00}=4\)。
\(W_{00}=4^{*}/(|4|^{2}+1)=4/(16+1)=4/17\)。
\(\hat{F}_{00}=(4/17)\cdot4=16/17\)。他の周波数は \(G=0\) より \(\hat{F}=0\)。
IDFT すると \(\hat{f}\) の各要素はすべて 4/17（≈0.235）。 元の \(f\)（1が1画素だけ）には戻らない。
\(W_{00}=4^{*}/(|4|^{2}+1)=4/(16+1)=4/17\)。
\(\hat{F}_{00}=(4/17)\cdot4=16/17\)。他の周波数は \(G=0\) より \(\hat{F}=0\)。
IDFT すると \(\hat{f}\) の各要素はすべて 4/17（≈0.235）。 元の \(f\)（1が1画素だけ）には戻らない。
なるほどポイント
定義の \(H^{*}\) と分母の \(\Gamma\) を両方使ったのがポイント。
落とし穴: (1) 共役を忘れる (2) \(|H|^{2}\) を \(H^{2}\) と書く (3) \(\Gamma\) の意味を書かない。
類題は \(\Gamma\) だけ変えることが多い → 分母 \(16+\Gamma\) の型を身体で覚える。
AI整理・数値検算済（fft2）
フェード
同じ \(f,h\) で \(\Gamma=3\) のとき \(W_{00}=4/(16+\square)=\square\)。\(\hat{F}_{00}=\square\)。\(\hat{f}\) 各要素=\(\square\)。
解答
\(W_{00}=4/19\)、\(\hat{F}_{00}=16/19\)、各要素 \(4/19\)。試験答案の型
試験答案は DFT→\(G\)→\(W\)→\(\hat{F}\)→IDFT の順。発散理由と \(\Gamma\) を言語化して締める。
4
第3問対策 · 2値画像処理（二者択一の一方）
2値画像処理・輪郭追跡
なぜこの章か
「劣化復元」と二者択一で出やすい。連結性・ラベリング・輪郭追跡が計算・図示問題になる。定義（連結）を先に固定しないと、以降のラベルも追跡も全部ぶれる。
4a
連結性・ラベリング
定義
4連結は上下左右のみ、8連結は斜めも含む隣接の定義である。
ラベリングはラスタスキャン（左→右、上→下）で未ラベルの前景に仮番号を付け、
すでに番号が付いた隣と衝突したら LUT（統合表）に「同じ物体」と記録し、最後に代表番号へ畳み込む。
この定義を使う
この定義を使うと、同じ白黒図でも「物体が何個か」が連結の取り方で変わることを、図で示せる。
例題
【問】次の 3×3 二値画像（1=前景）について、4連結と8連結それぞれで連結成分の個数を答えよ。
\[
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\]
またラスタスキャン（左上から）で仮ラベルを振るとき、最初に衝突が起きる画素を指摘せよ（8連結）。
解法
前景画素: \((0,1),(1,0),(1,1),(2,2)\)（行,列・0始まり）。
4連結: \((0,1)\)–\((1,1)\)–\((1,0)\) が一塊、\((2,2)\) は斜めのみで非連結 → 2個。
8連結: \((1,1)\) と \((2,2)\) が斜め隣接 → 全体が1塊 → 1個。
8連結ラスタ: 例えば \((0,1)\) に1、\((1,0)\) に2、\((1,1)\) で上=1・左=2が衝突 → LUT で 1≡2。
4連結: \((0,1)\)–\((1,1)\)–\((1,0)\) が一塊、\((2,2)\) は斜めのみで非連結 → 2個。
8連結: \((1,1)\) と \((2,2)\) が斜め隣接 → 全体が1塊 → 1個。
8連結ラスタ: 例えば \((0,1)\) に1、\((1,0)\) に2、\((1,1)\) で上=1・左=2が衝突 → LUT で 1≡2。
なるほどポイント
減点パターンは「連結を明示しない」「LUT を途中で捨てる」「最終表まで書かない」。
図を答案に再掲し、衝突箇所に矢印を書くと部分点が残りやすい。
教材 L9 / problem9
4b
輪郭追跡
定義
輪郭追跡は境界画素をあらかじめ決めた規則で辿り、チェーンコードなどに符号化する処理である。
本質は開始点・連結定義・次画素の探索順（時計回り／反時計回り）を固定すること。途中で規則を変えない。
この定義を使う
この規則を使うと、「次の境界画素はどれか」を候補の探索順だけで一意に決められる。
例題
【問】8連結・時計回り探索で、開始点を左上の境界画素とする。
2×2 の塗りつぶし前景（すべて1）の外輪郭を辿るとき、開始直後の「次画素」の選び方を答案用に手順化せよ。
解法
(1) 連結=8、探索順=時計回り、開始点を答案冒頭に書く。
(2) 現在画素の周囲8近傍を、決めた開始方位から時計回りに走査。
(3) 最初に見つかった前景境界を次画素にする（内向きと外向きを混在させない）。
(4) 開始点に戻るまで繰り返し、訪問列またはチェーンコードを書く。
(2) 現在画素の周囲8近傍を、決めた開始方位から時計回りに走査。
(3) 最初に見つかった前景境界を次画素にする（内向きと外向きを混在させない）。
(4) 開始点に戻るまで繰り返し、訪問列またはチェーンコードを書く。
なるほどポイント
試験では「次の画素はどれか」の一問や短いチェーンコードが問われやすい。
答案に探索順を短く書いておくと、最終座標がずれても部分点が残りやすい。規則の固定が全てである。
試験答案の型
試験答案: 連結定義→走査／追跡の規則→途中経過→最終ラベルまたは輪郭列。
5
第4問対策 · テンプレートマッチングの応用
テンプレートマッチング
なぜこの章か
パターン検出の基本。スライド位置ごとに相違度を計算し、最良位置を答える手計算が出る。定義（SSD の式）→全候補表→最小の読み取り、が答案の型そのもの。
5a
SSD テンプレートマッチング
定義
テンプレート \(T\) を画像 \(I\) 上でずらし、各位置の相違度を測る。代表が
\(\mathrm{SSD}=\sum(I-T)^{2}\)（二乗和）。SAD は絶対値和。NCC は正規化相関で最大が一致。
SSD/SAD は最小、NCC は最大が「一番似ている位置」。
\(\mathrm{SSD}(x,y)=\sum_{i,j}[I(x+i,y+j)-T(i,j)]^{2}\)
(5)
この定義を使う
この定義を使うと、スライド可能な全位置で SSD を表に書き、最小のマスを囲めば検出位置が決まる。
例題
【問】（problem11）
\[
I=\begin{pmatrix}
1&2&3&2&1\\
2&3&4&3&2\\
3&4&10&4&3\\
2&3&4&3&2\\
1&2&3&2&1
\end{pmatrix},\quad
T=\begin{pmatrix}2&3&2\\3&4&3\\2&3&2\end{pmatrix}
\]
移動量1で左上からラスタ走査する。SSD が最小となるテンプレート左上座標（1始まり）と、
そのときのテンプレート中心座標、最小 SSD を求めよ。
解法
候補は 3×3＝9 箇所。各左上 \((x,y)\)（1始まり）の SSD:
最小は左上 (2,2)、SSD=44。テンプレート中心は左上から (+1,+1) なので (3,3)。
| x=1 | x=2 | x=3 | |
|---|---|---|---|
| y=1 | 72 | 57 | 72 |
| y=2 | 57 | 44 | 57 |
| y=3 | 72 | 57 | 72 |
なるほどポイント
定義の「差の二乗を全部足す→最小」を表にしただけ。イメージは型紙をずらしてすき間最小の場所。
問題文が「中心座標」か「左上座標」かを必ず確認する——ここを落とすと計算が合っていても零点になりうる。
検算済
教材 L11 / problem11
フェード
左上 (1,1) の SSD は □。最小は左上 □／中心 □。
解答
72。左上 (2,2)／中心 (3,3)。5b
SAD / NCC との使い分け
定義
SAD は \(\sum|I-T|\)。計算は軽いが外れ値に弱い場合がある。
NCC は平均・ノルムで正規化し、明るさの一様変化に強い。目的と計算量で使い分ける。
この定義を使う
この対比を使うと、SSD 手計算のあと「もし全体が +10 明るくなったら」という考察文を書ける。
例題
【問】同じ \(I,T\) で SSD 最小位置が (2,2)（左上）だったとする。
画像全体に定数 +10 を足したとき、SSD と NCC の「最適位置」について起こりうる違いを述べよ（厳密再計算は不要）。
解法
SSD: 差の二乗なのでオフセットの影響を受け、最適位置が変わりうる（またはスコア全体が悪化する）。
NCC: 平均除去・正規化により相対パターンが保たれやすく、一致位置は保たれやすい。
答案では「最小か最大か」「中心か左上か」を先に宣言する。
NCC: 平均除去・正規化により相対パターンが保たれやすく、一致位置は保たれやすい。
答案では「最小か最大か」「中心か左上か」を先に宣言する。
なるほどポイント
試験では SSD 手計算が本線。SAD/NCC は語句や考察で触れる。
試験答案の型
試験答案: 全候補の表→最小を囲む→中心／左上の指定を確認→一言考察。
6
第5問対策 · ミーンシフト法の応用
ミーンシフト法
なぜこの章か
ミーンシフトの応用計算が明示的に出題される。空間＋色の特徴で重み付き平均へ動かす手順を追えること。定義（カーネルとバンド幅）→1ステップ更新→平滑化後の色、が型。
6a
ミーンシフト（空間＋色）
定義
画素情報を \(z=(x,v)\)（位置と色）として、カーネル重み付き平均の点へ反復移動するのがミーンシフトである。
エパネックニコフカーネルは帯域内で \(1-u^{2}\) 形（帯域外は0）。バンド幅は空間 \(h_s\) と色 \(h_d\)。
重みは空間・色それぞれのカーネルの積 \(K_s K_d\) とする。
この定義を使う
この定義を使うと、各点について「帯域内か？」→重み→加重平均、の1ステップ更新を手で追える。
例題
【問】（problem10_2）
\(z_1=(0,0,200,0,0)\), \(z_2=(1,0,190,0,0)\), \(z_3=(10,10,0,200,0)\)、
\(h_s=2\), \(h_d=20\)。初期値 \(y_0=z_1\) の1ステップ後の空間位置 \(y^x_1\) と色 \(y^v_1\) を求めよ。
解法
各点の \(u_s^{2}=\|x-x_i\|^{2}/h_s^{2}\)、\(u_d^{2}=\|v-v_i\|^{2}/h_d^{2}\)、\(K=\max(0,1-u^{2})\)。
\(z_1\): \(u_s^{2}=u_d^{2}=0\) → \(K_s=K_d=1\) → 重み \(w_1=1\)。
\(z_2\): \(u_s^{2}=1/4\), \(u_d^{2}=(10/20)^{2}=1/4\) → \(K=3/4\) ずつ → \(w_2=(3/4)^{2}=9/16\)。
\(z_3\): 空間も色も帯域外 → \(w_3=0\)。
\(W=1+9/16=25/16\)。
空間: \(x=(1\cdot(0,0)+(9/16)\cdot(1,0))/W=(9/16)/(25/16)=(9/25,0)=(\mathbf{0.36},0)\)。
色 R: \((1\cdot200+(9/16)\cdot190)/W=196.4\)、G=B=0。
\(z_1\): \(u_s^{2}=u_d^{2}=0\) → \(K_s=K_d=1\) → 重み \(w_1=1\)。
\(z_2\): \(u_s^{2}=1/4\), \(u_d^{2}=(10/20)^{2}=1/4\) → \(K=3/4\) ずつ → \(w_2=(3/4)^{2}=9/16\)。
\(z_3\): 空間も色も帯域外 → \(w_3=0\)。
\(W=1+9/16=25/16\)。
空間: \(x=(1\cdot(0,0)+(9/16)\cdot(1,0))/W=(9/16)/(25/16)=(9/25,0)=(\mathbf{0.36},0)\)。
色 R: \((1\cdot200+(9/16)\cdot190)/W=196.4\)、G=B=0。
なるほどポイント
定義の「帯域外は寄与0」「加重平均へ動く」を数値で見た。遠い緑点 \(z_3\) は引っ張らない。
分数は約分してよいが、式と代入過程は残す。
AI整理・検算済
教材 L10 / problem10_2
フェード
初期値を \(z_2\) にした1ステップの空間 \(x\) は □（約0.64）。\(z_3\) 初期なら重みは自分以外 □。
解答
\(x\approx(0.64,0)\)。\(z_3\) 初期では他点の重みはすべて0（自分だけ残る）。6b
平滑化結果の読み方
定義
各画素を初期値として収束（または指定ステップ）させたあと、収束後の色をその画素の新しい色にする。
これがミーンシフト平滑化（エッジを保ちやすい平滑）の試験でのゴール表現。
この定義を使う
この手続きを使うと、「どの画素がどの色クラスに吸収されたか」を帯域の話で説明できる。
例題
【問】上の3点について、各初期値から1ステップ（または収束）後の色を並べ、
\(z_3\) が他と混ざりにくい理由をバンド幅で述べよ。
解法
\(y_0=z_1\) → 色 ≈(196.4, 0, 0)（赤同士で均される）。
\(y_0=z_2\) → 色 ≈(193.6, 0, 0)。
\(y_0=z_3\) → 色 =(0, 200, 0) のまま（他点の重み0）。
理由: \(z_3\) は空間距離・色距離がともに \(h_s,h_d\) の帯域を超え、カーネルが0になるから。
\(y_0=z_2\) → 色 ≈(193.6, 0, 0)。
\(y_0=z_3\) → 色 =(0, 200, 0) のまま（他点の重み0）。
理由: \(z_3\) は空間距離・色距離がともに \(h_s,h_d\) の帯域を超え、カーネルが0になるから。
なるほどポイント
計算量の話より「帯域外は寄与0」「加重平均へ動く」の2点を答案の主軸にする。
ガボールやベクトル化は周辺・対象外。時間をミーンシフトの手計算に使う。
試験答案の型
試験答案: 帯域判定→カーネル重み→加重平均→初期値違い→平滑化後の色。
7
周辺知識 · 主5問外（時間があれば）
補足：ハフ・フロー・符号化
なぜこの章か
練習問題にあり試験の周辺知識。主5問を固めたあとの加点枠。定義の式を書いて代入できるかが最低ライン。
7a
ハフ変換（直線）
定義
直線は \(\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\) で表す。画像上の1点はパラメータ空間で曲線になり、
複数点の曲線の交点が「それらを通る直線」の \((\theta,\rho)\) になる（投票の山）。
\(\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\)
(6)
この定義を使う
この式を使うと、与えられた点と \(\theta\) から \(\rho\) を計算し、交点＝直線候補と読める。
例題
【問】点 P1\((2,0)\)、P2\((0,2)\) について \(\theta=45^\circ\) のときの \(\rho_1,\rho_2\) を求め、
同一直線候補かどうか判定せよ。直交座標の式も書け。
解法
\(\cos45^\circ=\sin45^\circ=1/\sqrt{2}\)。
\(\rho_1=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}\)、\(\rho_2=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}\)。一致 → 同一直線候補。
直交座標では \(y=-x+2\)（両点を通る）。投票のピーク＝直線検出。
\(\rho_1=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}\)、\(\rho_2=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}\)。一致 → 同一直線候補。
直交座標では \(y=-x+2\)（両点を通る）。投票のピーク＝直線検出。
なるほどポイント
ハフは「点の証拠をパラメータ空間に積み上げる投票」。主5問の次点だが、代入は短く得点源。
教材 L12–L13 / problem12–13
7b
光学フローと符号化（周辺）
定義
光学フローの基本拘束は \(I_x u+I_y v=-I_t\)（明るさ一定仮定）。未知が2つ・式が1つなので追加仮定が要る。
JPEG はレベルシフト→DCT→量子化→ジグザグが骨格で、情報が主に落ちるのは量子化。
この定義を使う
この拘束式を使うと、勾配と時間差分が与えられたとき「自由度が足りない」と指摘できる。
例題
【問】(1) \(I_x=2,\,I_y=-1,\,I_t=4\) のとき拘束式を書け。未知は何か。
(2) JPEG で情報が主に落ちる段階はどこか。
(2) JPEG で情報が主に落ちる段階はどこか。
解法
(1) \(2u+(-1)v=-4\) すなわち \(2u-v=-4\)。未知は \((u,v)\) の2つで式は1本 → 一意に決まらない。
(2) 量子化。
(2) 量子化。
なるほどポイント
優先度はフィルタ・復元・TM・ミーンシフトの次。出たら定義と1ステップで部分点を取りにいく。
細線化〜折れ線近似のベクトル化手順は試験対象外（out-of-scope）。
試験答案の型
試験答案: 定義の式を書いて代入。投票／拘束／量子化のキーワードを落とさない。
語
第1問中心 · 計算語も収録
用語集（40語）
| 用語 | 定義 | 例 |
|---|---|---|
| 画素（ピクセル） | ディジタル画像の最小単位。位置と輝度／色値を持つ | 5×5画像は25画素 |
| 階調 | 輝度の量子化レベル数。8bitなら0〜255 | bit深度とほぼ同義 |
| 空間周波数 | 画像平面上での輝度変化の細かさ。高いほど細かい模様 | エッジは高周波成分を含む |
| 濃淡変換 | 各画素の輝度を関数で写す点演算（ヒストグラム操作など） | 明るさ・コントラスト変換 |
| 明るさ変換 | 全画素に定数を加減し全体の明るさを変える | \(f^{\prime}=f+b\) |
| コントラスト変換 | 輝度の差を拡大／縮小する | 傾き\(a\)の線形変換 \(f^{\prime}=af+b\) |
| ヒストグラム | 各階調の出現頻度の分布 | 平坦化でコントラスト改善 |
| 空間フィルタリング | 近傍画素の重み付き結合で出力を作る処理 | 畳み込みと同義に扱うことが多い |
| 畳み込み（たたみ込み） | カーネルと画像の対応要素積の和 | \(g=f\ast h\) |
| カーネル／マスク | フィルタの重み配列（例: 3×3） | 平滑化・先鋭化・微分 |
| 平均化フィルタ | 近傍の平均で平滑化しノイズを抑える | エッジもぼける |
| ガウシアンフィルタ | 距離に応じた正規分布重みの平滑化 | 平均化より自然にぼける |
| メディアンフィルタ | 近傍中央値。非線形。塩胡椒ノイズに強い | エッジ保存しやすい |
| ラプラシアン | 2階微分に基づくエッジ強調フィルタ | 先鋭化カーネルの核 |
| 周波数領域フィルタ | DFT後にスペクトルを操作してから逆変換 | 理想LPF/HPFなど |
| 点拡がり関数（PSF） | 点が像面上でどう広がるかを表す劣化カーネル | 焦点ぼけのモデル |
| 劣化モデル | \(g=f\ast h\)（＋雑音）。周波数では \(G=FH\) | 復元の出発点 |
| 逆フィルタ | \(K=1/H\) で復元。\(H\approx 0\) で発散し雑音が増幅 | 理想条件以外は危険 |
| ウィナーフィルタ | 復元誤差を最小化するフィルタ。雑音項で正則化 | \(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\) |
| 2値画像 | 前景／背景の2値だけの画像 | ラベリング・輪郭の土台 |
| 4連結／8連結 | 上下左右のみ／斜めも含めた隣接定義 | 輪郭・ラベリング結果が変わる |
| ラスタスキャン | 左上から右へ、次の行へ進む走査順 | ラベリングやTMの走査 |
| 輪郭追跡 | 境界画素を一定規則で辿り輪郭を抽出 | チェーンコードと併用 |
| ラベリング | 連結成分ごとに番号を付ける | LUTで結合を解決 |
| テンプレートマッチング | 標準パターンを画像上でずらし類似位置を探す | SSD/SAD/NCC |
| SSD | 差の二乗和。0に近いほど一致 | 最小位置が検出位置 |
| SAD | 差の絶対値和 | SSDより計算が軽い場合あり |
| NCC | 正規化相互相関。一致で最大1 | 明るさ変化に比較的強い |
| ミーンシフト | 密度が高い方向へ標本を反復移動する手法 | 平滑化・セグメンテーション |
| エパネックニコフカーネル | 帯域内で \(1-u^{2}\) の形を持つカーネル | ミーンシフトの重み |
| バンド幅 hs, hd | 空間／色のカーネル幅。大きいほど強く平滑化 | problem10_2 では hs=2, hd=20 |
| ハフ変換 | 点をパラメータ空間に投票し直線・円を検出 | \(\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\) |
| ガボールフィルタ | ガウス窓×正弦で方向・周波数を選択的に抽出 | テクスチャ解析 |
| 光学フロー | 連続フレーム間の見かけの動き場 \((u,v)\) | 制約式 \(I_{x}u+I_{y}v+I_{t}=0\) |
| 再標本化 | 幾何変換後に格子点の値を補間で決める | 逆変換＋補間が定石 |
| バイリニア補間 | 周囲4点の加重平均 | ジャギー低減、エッジは鈍る |
| ベクトル化 | 細線化後に端点・分岐で線分近似する処理 | 本試験では出題対象外 |
| 細線化 | 連結性を保ち線幅1まで削る | ベクトル化の前処理 |
| JPEG | DCT＋量子化＋ジグザグ＋符号化の圧縮 | ブロック単位処理 |
| DCT | 離散コサイン変換。低周波にエネルギーを集める | JPEGの核 |
演
第2〜5問対策 · 計算ドリル
足場かけ演習（worked → faded → solo）
章本文は定義→使う→例題→解法→なるほど。ここは手数の反復（完成例→空欄→自力）。 模範解答はAI整理（公式正解ではない）
型A：ウィナー復元（problem8系）〈第3問〉
① ワーク（完成例）
\(f=[[1,0],[0,0]]\), \(h=[[1,1],[1,1]]\), \(\Gamma=1\)。
DFTで \(H_{00}=4\)、他0。\(G_{00}=4\)。\(W_{00}=4/17\)。\(\hat{F}_{00}=16/17\)。IDFTで \(\hat{f}\) の各要素=4/17。
DFTで \(H_{00}=4\)、他0。\(G_{00}=4\)。\(W_{00}=4/17\)。\(\hat{F}_{00}=16/17\)。IDFTで \(\hat{f}\) の各要素=4/17。
② フェード
同じ \(f,h\) で \(\Gamma=3\) のとき \(W_{00}=4/(16+\square)=\square\)。\(\hat{F}_{00}=\square\)。
解答
\(W_{00}=4/19\)、\(\hat{F}_{00}=16/19\)。\(\hat{f}\) 各要素=4/19。③ 自力（solo）
\(f=[[2,0],[0,0]]\), \(h=[[1,0],[0,1]]\), \(\Gamma=1\)。直流および \(H\neq0\) の成分について \(G,W,\hat{F}\) を求め、\(\hat{f}\) を書け。
\(W_{00}=W_{11}=2/(4+1)=2/5\)。\(\hat{F}_{00}=\hat{F}_{11}=8/5\)。
IDFT で \(\hat{f}=[[0.8,0],[0,0.8]]\)。
解答例
\(F\) は全成分2。\(H_{00}=H_{11}=2\)、他0。\(G_{00}=G_{11}=4\)。\(W_{00}=W_{11}=2/(4+1)=2/5\)。\(\hat{F}_{00}=\hat{F}_{11}=8/5\)。
IDFT で \(\hat{f}=[[0.8,0],[0,0.8]]\)。
型B：SSDテンプレート（problem11系）〈第4問〉
① ワーク
I中央が10の山、Tが山の「裾」。9候補のSSD表 → 最小44 → 左上(2,2) → 中心(3,3)。
② フェード
同じI,Tで左上(1,1)のSSDは□。最小は左上□／中心□。
解答
72。左上(2,2)／中心(3,3)。③ 自力
左上(2,1)のSSDを手計算し、表の57と一致するか確認せよ。また「中心座標を問われた」場合の答えを書け。
解答例
パッチは行1–3・列2–4（1始まり）の [[2,3,2],[3,4,3],[2,3,2]] ではなく I の該当3×3。計算すると57。中心は(3,2)。型C：ミーンシフト1ステップ（problem10_2系）〈第5問〉
① ワーク
y0=z1。\(w_1=1\), \(w_2=9/16\), \(w_3=0\) → \(x=(0.36,0)\), R≈196.4。
② フェード
z3 の重みが0になる理由は、□がバンド幅を超えるから。
解答
空間距離および色距離が大きく、カーネル引数 \(u^{2}>1\) となるため。③ 自力
初期値を z2 にした1ステップの空間位置と色Rを求めよ。
解答例
\(x\approx(0.64,0)\), R≈193.6（G=B=0）。型D：畳み込み＋考察〈第2問〉
① ワーク
先鋭化 3×3 を [[1..9]] に適用 → 中心5。平均化でもこのパッチでは中心5（ランプ）。
エッジ信号では平均化で値が落ち「ぼけ」、先鋭化で跳ね「立つ」。
② フェード
同じエッジにラプラシアン系を掛けた結果はエッジが□する。
解答
強調される（立って見える）。③ 自力
画像 [[2,2,2],[2,8,2],[2,2,2]] に平均化 1/9 と先鋭化 [[0,-1,0],[-1,5,-1],[0,-1,0]] をそれぞれ中心に適用し、
数値と考察（ぼけ／立ち）を3行で書け。
先鋭化: \(-2-2+40-2-2=32\) → ピークが立ち、周囲との差が拡大。
解答例
平均化: \((16+8)/9=24/9=8/3\approx2.67\) → ピークが均されぼける。先鋭化: \(-2-2+40-2-2=32\) → ピークが立ち、周囲との差が拡大。
型E：連結・ラベリング〈第3問・2値側〉
① ワーク
3×3 で斜めだけつながる図 → 4連結で2個、8連結で1個。衝突は LUT。
② フェード
4連結で隣接に含めるのは上下左右だけで、□は含めない。
解答
斜め（対角）。③ 自力
\[
\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}
\]
の連結成分数を4連結／8連結で答えよ。
解答
4連結: 5個（各1が孤立）。8連結: 1個（斜めで全体が連結）。診
全問カバー · 確信度つき
確信度診断
記
間違いノート
localStorage: sg:image-processing:journal
まだありません。
質
出典・頁マトリクス
20
カバレッジ行
40
用語
27
診断
1
ベクトル化除外
out-of-scope: 線画像のベクトル化（細線化〜折れ線近似の手順暗記）は試験に出ない方針。教材第10回前半に存在するが本文の試験対象から除外。
| トピック | 回 | 状態 | 試験 | アンカー |
|---|---|---|---|---|
| 導入・画像処理の全体像 | L1 | covered | ★ | #ch1 |
| 画像の表現・標本化・空間周波数 | L2 | covered | ★ | #ch1 |
| 画像生成の光学的モデル | L3 | covered | ★ | #ch1 |
| 濃淡変換・明るさ・コントラスト | L4 | covered | ★ | #ch1 |
| 色表現 | L5 | covered | ★ | #ch1 |
| 空間フィルタリング基礎 | L6 | covered | ★ | #ch2 |
| 空間／周波数フィルタリング | L7 | covered | ★ | #ch2 |
| 画像の劣化と復元（逆・ウィナー） | L8 | covered | ★ | #ch3 |
| 2値画像・輪郭追跡・ラベリング | L9 | covered | ★ | #ch4 |
| ガボール／ミーンシフト（第10回・計算） | L10 | covered | ★ | #ch6 |
| 線画像のベクトル化・細線化 | L10 | out-of-scope | ★ | #ch1 |
| テンプレートマッチング（SSD等） | L11 | covered | ★ | #ch5 |
| ハフ変換・図形要素検出 | L12 | covered | ★ | #ch7 |
| 動画像・符号化（JPEG概要） | L13 | covered | ★ | #ch7 |
| 練習問題8（劣化・ウィナー） | L8 | covered | ★ | #scaffold |
| 練習問題9（輪郭・ラベリング等） | L9 | covered | ★ | #ch4 |
| 練習問題10（ガボール・ミーンシフト） | L10 | covered | ★ | #ch6 |
| 練習問題11（SSDテンプレート） | L11 | covered | ★ | #ch5 |
| 練習問題12（ハフ・フロー） | L12 | covered | ★ | #ch7 |
| 練習問題13（JPEG/DCT） | L13 | covered | — | #ch7 |
教材: lectures/materials/image_processing。解答はAI整理・一部数値は生成時に検算。
✓
直前チェック
- 空間周波数・明るさ／コントラストを一文で言える
- 3×3畳み込みを手計算できる／考察が書ける
- 逆フィルタの発散理由とウィナーの \(\Gamma\) を説明できる
- 輪郭追跡・ラベリングの走査順を図示できる
- SSD表を埋めて最小位置（中心／左上）を答えられる
- ミーンシフト1ステップの加重平均ができる
- 学生証・座席ルール確認（持込不可）