画像処理
教科書ノート

求めるもの: 各画像を高／低周波で分類し、理由を1文ずつ。

使う定義・式（答案の先頭行）: 空間周波数＝輝度変化の細かさ。急変＝高周波、なだらか＝低周波。

1. (A) エッジ＝急変 → 高周波が多い。
2. (B) ぼけで細かい変化が落ちる → 高周波減衰・低周波支配。
3. (C) 平坦＋塩胡椒 → 構造は低周波のまま、局所急変＝高周波ノイズ増。

答案に書く文（完成例）: 「ぼけ＝高周波減衰。ノイズの粒＝高周波の局所急変。」

部分点: 「ぼけ＝高周波減衰」の対応1語でも語句点の半分は取りにいける。

求めるもの: \(f'\) の数値と、\(a,b\) が変える量の説明。

使う定義・式（答案の先頭行）: \(f'=af+b\)。\(a\)＝コントラスト（傾き）、\(b\)＝明るさ（切片）。0〜255でクリップ。

1. \(f'=2\cdot100-30=170\)（範囲内なのでクリップ不要）。
2. \(a>1\) → 差が拡大＝コントラスト強調（\(0<a<1\) なら弱め）。
3. \(b>0\) → 全体が明るく、\(b<0\) → 暗くなる。
4. 検算例: \(f=200\) なら \(370\to255\)（クリップを答案に書く）。

部分点: 式 \(f'=af+b\) と代入があれば、用語の言い回しが多少違っても点が残る。

求めるもの: 中心画素の畳み込み出力 \(g\)（スカラー1つ）。

使う定義・式（答案の先頭行）: 畳み込み \(g=\sum_{i,j} F_{ij}\,H_{ij}\)（対応要素の積和）。先鋭化カーネル \(H\) を \(F\) の中心に重ねる。

1. 重ね方を宣言: \(H\) の中心5を \(F\) の中心5に合わせる（ずれなし）。
2. 1行目: \(0\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot3=-2\)。
3. 2行目: \((-1)\cdot4+5\cdot5+(-1)\cdot6=-4+25-6=15\)。
4. 3行目: \(0\cdot7+(-1)\cdot8+0\cdot9=-8\)。
5. 合計: \(-2+15+(-8)=5\)。

答案に書く文（完成例）: 「先鋭化カーネルを中心に重ね、行ごとの積和 \(-2+15-8=5\)。中心は元の5のまま。」

部分点: 重ね位置の宣言と1行分の途中式が書いてあれば、合計ミスでも過程点を取りにいける。

求めるもの: 有効4位置の (A)(B) 出力表＋ピーク付近の考察2文。

使う定義・式（答案の先頭行）: (A) \(g=\tfrac19\sum\) 近傍9画素。(B) \(g=5I_c-\)（上下左右の4隣）。中心は0始まりで \((1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\)。

1. 左上中心 \((1,1)\): 近傍はすべて2と、右下に10がまだ入らない配置ではなく、実際の3×3は \(\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&10\end{pmatrix}\)。和 \(=26\)、\(g=26/9\)。
2. 右上・左下・右下も同じ「2が8個＋10が1個」の配置になる → すべて \(26/9\approx2.89\)。

1. 左上中心 \(I_{1,1}=2\): \(5\cdot2-2-2-2-2=10-8=\mathbf{2}\)。
2. 右上中心 \(I_{1,2}=2\): 下隣が \(I_{2,2}=10\) なので \(5\cdot2-2-2-2-10=10-16=\mathbf{-6}\)。
3. 左下中心 \(I_{2,1}=2\): 右隣が10なので同様に \(\mathbf{-6}\)。
4. 右下中心 \(I_{2,2}=10\): \(5\cdot10-2-2-2-2=50-8=\mathbf{42}\)。

答案に書く文（完成例）: 「(A) ピーク10が \(26/9\) まで下がり、明暗差が消えてぼけた。」／ 「(B) ピークが42まで立ち、隣が \(-6\) と負になったのでオーバーシュートが起きている。」

部分点: 表が一部空でも、ピーク位置の途中式と「ぼけ／立ち／オーバーシュート」の語句があれば考察点を拾える。

求めるもの: 行列 \(F,H,G\) と、「逆フィルタが使えない」理由の一文。

使う定義・式（答案の先頭行）: 劣化 \(G=FH\)（成分ごと積）。逆フィルタ \(K=1/H\)。2×2 DFT（fft2 相当）。

1. \(f\) は左上だけ1 → \(F=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)（全成分1）。
2. \(h\) は全要素1 → 直流 \(H_{00}=\) 要素和 \(=4\)、他周波数は0。
   \(H=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}\)。
3. \(G=FH\)（成分ごと）: \(G_{00}=1\cdot4=4\)、他0。
   \(G=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}\)。

1. \(K=1/H\) を各成分で作る。
2. 直流以外は \(H=0\) → \(1/0\) でゼロ除算（発散）。
3. 結論: この \(H\) では単純な逆フィルタは使えない。

答案に書く文（完成例）: 「\(H\) の高周波成分が0のため \(1/H\) が発散し、わずかな雑音も増幅される。単純な逆フィルタは実用にならない。」

部分点: \(H_{00}=4\) と「他が0」「\(1/0\)」まで書けていれば、行列の細部ミスでも理由点は残る。

求めるもの: \(W_{00}\)、\(\hat{F}_{00}\)、復元画像 \(\hat{f}\) の全要素。手順5段を答案に残す。

使う定義・式（答案の先頭行）: \(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\)、\(\hat{F}=WG\)、最後に IDFT。3b の結果 \(H_{00}=4\), \(G_{00}=4\), 他の \(G=0\) を使う。\(\Gamma=1\)。

1. \(H_{00}=4\)（実数なので \(H_{00}^{*}=4\)）、他の \(H=0\)。
2. \(G_{00}=4\)、他の \(G=0\)。

3. 直流: \(W_{00}=4/(|4|^{2}+1)=4/(16+1)=\mathbf{4/17}\)。
4. 他周波数: \(H=0\) なので \(W=0^{*}/(0+\Gamma)=0\)（分母に \(\Gamma\) があるので発散しない）。

5. \(\hat{F}_{00}=W_{00}G_{00}=(4/17)\cdot4=\mathbf{16/17}\)。他の \(\hat{F}=0\)。
6. IDFT: 直流だけの 2×2 なので各画素は \(\hat{F}_{00}/4=16/17\div4=\mathbf{4/17}\)。
   \(\hat{f}=\dfrac{4}{17}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\approx0.235\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)。
7. 考察: 元の \(f\)（左上だけ1）には完全復帰しない。劣化で高周波情報が消えたため。

答案に書く文（完成例）: 「\(W_{00}=4/(16+1)=4/17\)、\(\hat{F}_{00}=16/17\)、IDFTで各画素 \(4/17\)。\(\Gamma\) により \(H=0\) 帯域でも発散せず、ただし完全復元はできない。」

部分点: 式 \(W=H^{*}/(|H|^{2}+\Gamma)\) の代入と「発散しない理由」があれば、IDFTの細部ミスでも過程点が残る。

求めるもの: 仮ラベル表・LUT・最終ラベル表の3点セット。

使う定義・式（答案の先頭行）: 8連結・ラスタ順。走査済み隣は西・北西・北・北東。衝突はLUTで小さい番号へ統合。

1. \((1,1)\): 走査済み隣に前景なし → 新規1。
2. \((2,1)\): 西が1 → コピーして1。
3. \((5,1)\): 隣に番号なし → 新規2。
4. \((1,2)\): 北が1 → 1。
5. \((3,2)\): 北西・北などに1あり → 1（左塊と8連結）。
6. \((5,2),(6,2)\): 北／西が2 → 2。
7. \((2,3)\): 北・北西側が1 → 1。衝突なし。

1. LUT（衝突なし）: \(1\mapsto1\), \(2\mapsto2\)。
2. 最終表＝仮ラベル表と同じ。連結成分は2個（左塊1・右塊2）。

答案に書く文（完成例）: 「8連結・ラスタ順で仮ラベルを付け、LUTは衝突なし（\(1\mapsto1,2\mapsto2\)）。最終も同表で成分2個。」

部分点: 連結=8の宣言とLUT行があれば、1画素のラベルミスでも「統合の考え方」点を残せる。

求めるもの: 開始点・輪郭座標列・探索規則の3点。

使う定義・式（答案の先頭行）: 黒=前景、8連結、Moore近傍を時計回り。開始はラスタ最初の前景。開始に戻ったら終了。

1. ラスタで最初の黒 = \((1,1)\) → 開始点。

1. 開始 \((1,1)\): 「左（背景）から来た」とみなし、時計回りで最初の前景 → \((2,1)\)。
2. \((2,1)\) から同様 → \((3,2)\)。
3. \((3,2)\) → \((2,3)\)。
4. \((2,3)\) → \((1,2)\)。
5. \((1,2)\) → \((1,1)\)（開始に復帰）→ 終了。

答案に書く文（完成例）: 「8連結・時計回り。開始(1,1)。Moore探索で (1,1)→(2,1)→(3,2)→(2,3)→(1,2)→(1,1)。」

部分点: 開始点＋「8連結・時計回り」の宣言があれば、列の1点ずれでも規則点を取りにいける。

求めるもの: 最小SSD・その左上座標（1始まり）・テンプレート中心座標。

使う定義・式（答案の先頭行）: \(\mathrm{SSD}(x,y)=\sum[I-T]^{2}\)。SSDは相違度→最小が一致。左上 \((x,y)\) は1始まり、置けるのは \(x,y\in\{1,2,3\}\) の9か所。

1. 左上 (1,1): パッチ \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&10\end{pmatrix}\) と \(T\) の差を二乗和 → 72。
2. 上辺中央 (2,1): 差の二乗和 → 57。
3. 中央 (2,2): パッチ \(\begin{pmatrix}3&4&3\\4&10&4\\3&4&3\end{pmatrix}\)。
   差 \(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&6&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)、二乗和 \(1\times8+36=\mathbf{44}\)。
4. 対称性より四隅=72、十字の腕=57、中央=44。

1. 最小は44 → 左上 (2,2)。
2. 3×3テンプレートの中心は左上から (+1,+1) → (3,3)。

答案に書く文（完成例）: 「SSDは最小。表より最小44は左上(2,2)。中心は(3,3)。」

部分点: 9マス表と「最小／左上か中心か」の宣言があれば、1マス計算ミスでも座標の取り方点は残る。

求めるもの: SSDとNCCそれぞれで最適位置がどうなりうるか＋理由。

使う定義・式（答案の先頭行）: SSDは差の二乗和（オフセットが残る）。NCCは平均を引いてから相関（オフセットが消える）。

1. SSD: 新画像 \(I'=I+10\)。差は \(I'-T=(I-T)+10\)。二乗和に定数オフセットが入り、スコアが全体悪化し最小位置がずれうる。
2. NCC: 各窓で平均を引くので +10 は平均に吸収され消える。模様の相対形が同じなら最大位置は保たれやすい。
3. 対比の核: 「差にオフセットが残るSSD」vs「平均除去するNCC」。

答案に書く文（完成例）: 「一様バイアス+10はSSDの差に残り最小がずれうる。NCCは平均引きでバイアスが消えるため一致位置が安定しやすい。」

部分点: 「SSD＝オフセット残る／NCC＝平均で消える」の対比1文があれば考察点の大半を取れる。

求めるもの: 1ステップ後の空間 \(y^x_1\) と色 \(y^v_1\)（特にR）。

使う定義・式（答案の先頭行）: \(u_s^{2}=\|x-x_i\|^{2}/h_s^{2}\)、\(u_d^{2}=\|v-v_i\|^{2}/h_d^{2}\)、\(K=\max(0,1-u^{2})\)、\(w=K_sK_d\)、加重平均へ移動。\(h_s=2,h_d=20\)、\(y_0=z_1\)。

1. \(z_1\): 距離0 → \(u_s^{2}=u_d^{2}=0\) → \(K_s=K_d=1\) → \(w_1=1\)。
2. \(z_2\): 空間 \(\|x\|^{2}=1\) → \(u_s^{2}=1/4\)。色差R=10 → \(u_d^{2}=(10/20)^{2}=1/4\)。
   \(K_s=K_d=3/4\) → \(w_2=(3/4)^{2}=9/16\)。
3. \(z_3\): 空間 \(\| (0,0)-(10,10)\|^{2}=200\) → \(u_s^{2}=200/4=50>1\)。
   色も大きく離れる → \(K_s=K_d=0\) → \(w_3=0\)（帯域外）。

1. 総重み \(W=1+9/16=25/16\)。
2. 空間: \(x=\bigl(1\cdot(0,0)+(9/16)(1,0)\bigr)/W=(9/16)/(25/16)=(9/25,0)=(\mathbf{0.36},0)\)。
3. 色R: \(\bigl(1\cdot200+(9/16)\cdot190\bigr)/W=(200+106.875)/(25/16)=306.875\cdot16/25=\mathbf{196.4}\)。G=B=0。

答案に書く文（完成例）: 「\(w_1=1,w_2=9/16,w_3=0\)。加重平均で \(x=(0.36,0)\)、R=196.4。\(z_3\) は \(u^{2}>1\) で寄与0。」

部分点: 各点の \(u^{2}\) と \(w\) の表があれば、最終平均の計算ミスでも帯域判定点は残る。

求めるもの: 3初期値それぞれの1ステップ後の色＋\(z_3\) が混ざらない理由。

使う定義・式（答案の先頭行）: 帯域外は \(K=0\)。色の更新は重み付き平均。\(h_s=2,h_d=20\)。

1. \(y_0=z_1\) → 色 ≈(196.4, 0, 0)（赤同士で均される）。
2. \(y_0=z_2\) → 色 ≈(193.6, 0, 0)（同様に赤クラス）。
3. \(y_0=z_3\) → 色 =(0, 200, 0) のまま（\(w_1=w_2=0\)）。
4. 理由: \(z_3\) は空間・色とも \(u^{2}>1\) で帯域外。\(h_s,h_d\) がこの距離より小さいため他点と混ざらない。

答案に書く文（完成例）: 「\(z_3\) は空間距離・色距離が \(h_s,h_d\) の帯域を超えカーネルが0になるため、他の赤点と平均されない。」

部分点: 「\(u^{2}>1\) で重み0」と書けていれば、色の数値ミスでも理由点は取れる。

求めるもの: \(\rho_1,\rho_2\)、同一直線候補か、直交座標の式。

使う定義・式（答案の先頭行）: \(\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\)。\(\theta=45^\circ\) で \(\cos=\sin=1/\sqrt{2}\)。

1. \(\rho_1=2\cdot(1/\sqrt{2})+0=\sqrt{2}\)。
2. \(\rho_2=0+2\cdot(1/\sqrt{2})=\sqrt{2}\)。
3. \(\rho_1=\rho_2\) → 同一直線候補（この \(\theta\) で同じ投票ビン）。
4. 直交座標: 両点を通る \(y=-x+2\)。

部分点: 式を書いて代入できれば、判定文が短くても点が入る。

求めるもの: 拘束式・未知の個数／JPEGで情報が落ちる段階。

使う定義・式（答案の先頭行）: \(I_x u+I_y v=-I_t\)。JPEGは量子化で非可逆。

1. (1) 代入: \(2u+(-1)v=-4\) → \(2u-v=-4\)。未知は \((u,v)\) の2つ、式は1本 → 一意に決まらない（開口問題）。
2. (2) 情報が主に落ちるのは量子化。

部分点: 「未知2・式1」または「量子化」のキーワードだけで周辺点を拾える。